R4都立入試の数学を解説【平面図形】

R4都立入試の数学を解説【平面図形】

2月21日に終了した都立高校の前期一般入試。

数学の大問題4、平面図形の「問2-②」の解き方を解説します。

問2-①でAP=AQが証明されており、∠PAQ=60度なので、⊿APQは正三角形です。

また⊿ABCと⊿ADBは合同です。

よって⊿BRPと⊿ADBの面積の比を求めればよいことになります。

DP:PB=2:1ですから、⊿APBは⊿ADBの3分の1です。

次にAからDBに垂線をひき、DBとの交点をSとします。

⊿ADPは辺の比が2:1:√3の直角三角形なので、AS=3√3/2です。

⊿APBに三平方の定理を用いるとAP=√7となります。

⊿BRPと⊿QRAは相似で、相似比は1:√7。

ここでBR=xとするとQR=√7x。

また、AB=3ですからAR=3-x、PQ=√7よりPR=√7-√7xです。

AR:PR=1:√7なので代入するとx=2/3を得られ、AR=3-2/3=7/3。

よってAR:BR=7:2となり、⊿BRPは⊿APBの面積の9分の2です。

したがって⊿BRPは⊿ADP=⊿ABCの27分の2となります。

 

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英才個別学院梅島校

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